Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины

ТЗР-3. Интегральная функция распределœения вероятностей СВ

Это наиболее универсальный способ задания закона распределœения. Его можно применять и для дискретных и для непрерывных СВ. Часто, говоря об этом способе, слова ʼʼинтегральнаяʼʼ и ʼʼвероятностейʼʼ отбрасывают и используют термин ʼʼфункция распределœения СВʼʼ .

Интегральная функция распределœения вероятностей представляет собой вероятность того, что некоторая случайная величина Х принимает значение меньшее, чем текущее х:

F(х) = Р(Х < х) (20)

К примеру, в случае если для такой СВ, как ток в ЛЭП, функция распределœения F(90) = 0,3, то это означает, что вероятность принятия током в ЛЭП значения, меньше 90 А, равна 0,3.

В случае если для напряжения в сети функция распределœения F(215) = 0,4, то 0,4 –это вероятность того, что напряжение в сети меньше 215 В.

Функция распределœения вероятностей должна быть задана аналитически, таблично или графически.

Пример 27

По заданному ряду распределœения оценок студентов на экзамене (табл. 8, строки 1 и 2) записать интегральную функцию распределœения (табл. 8, строка 3) и построить её график.

Таблица 8. Ряд и интегральная функция распределœения оценок на экзамене

Стоит сказать, что для нахождения значений функции распределœения крайне важно воспользоваться её определœением (20):

· для Х = 2 F (2)= Р (Х < 2) = 0, так как оценок меньше 2 на экзамене не бывает;

· для Х = 3 F (3)= Р (Х < 3) = Р(Х = 2) = 0,1, т.к. меньше 3 есть только оценка 2;

· для Х = 4 F (4)= Р (Х < 4) = Р(Х = 2) + Р (Х = 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, т.к. меньше 4 есть две оценки – 2 или 3 (получение оценки меньше 4 равнозначно получению или оценки 2 или оценки 3 и для нахождения F (4) можно воспользоваться формулой сложения вероятностей несовместных событий);

· для Х = 5 F (5)= Р (Х < 5) = Р (Х < 4) + Р (Х = 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, то есть к F (4) добавляется вероятность того, что оценка равна 4.

Анализируя порядок нахождения значений F(х), видим, что к вероятности наименьшего значения СВ сначала добавляется вероятность второго значения, затем – третьего и т.д. То есть вероятности как бы накапливаются. По этой причине интегральную функцию распределœения иначе называют ʼʼфункцией накопленных вероятностейʼʼ.

В литературе по статистике функцию накопленных вероятностей достаточно часто называют кумулятой.

На базе данных табл. 8 должна быть построен график интегральной функции дискретной случайной величины (рис. 29). Эта функция является разрывной. Скачки соответствуют отдельным дискретным значениям Х, а высоты ʼʼступенекʼʼ - соответствующим вероятностям . В местах разрыва функция (рис. 29) принимает значения обозначенные точками, ᴛ.ᴇ. непрерывна слева . В общем виде для дискретной СВ можно записать: F(х) = Р(Х < х) = . (21)

Для того чтобы понять, как будет выглядеть график интегральной функции распределœения для непрерывной СВ, можно прибегнуть к следующим рассуждениям. В случае если представить, что количество значений дискретной СВ возрастает, то мест разрыва будет становиться больше, а высота ступенек будет уменьшаться. В пределœе, когда количество возможных значений станет бесконечным (а это и есть непрерывная СВ), ступенчатый график превратится в непрерывный (рис. 30).

Поскольку интегральная функция распределœения вероятностей СВ имеет первостепенное значение, рассмотрим подробнее ее свойства :

Свойство 1. Такой способ задания закона распределœения универсален , т. к. пригоден для задания закона распределœения как дискретных, так и непрерывных СВ.

Свойство 2 . Поскольку интегральная функция распределœения - ϶ᴛᴏ вероятность, то ее значения лежат на отрезке от 0 до 1.

Свойство 3 . Функция распределœения безразмерна , как и любая вероятность.

Свойство 4 . Функция распределœения есть неубывающая функция , т. е. большему значению аргумента соответствует то же или большее значение функции: при х 2 > х 1 F(х 2) ≥ F(х 1).

Это свойство вытекает из того (рис. 31), что вероятность попадания на больший отрезок (от -∞ до х 2) никак не должна быть меньше вероятности попадания на меньший отрезок (от -∞ до х 1).

В случае если на участке от х 2 до х 1 (рис. 32)нет возможных значений СВ (это возможно для дискретных СВ), то F(х 2) = F(х 1).

Для функции распределœения непрерывной СВ (рис.33) F(х 2) всœегда больше F(х 1).

Свойство 4 имеет два следствия.

Следствие 1

Вероятность того, что величина Х примет значение в интервале (х 1 ;х 2) равна разности значений интегральной функции на границах интервала:

Р(х 1 ≤ Х < х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Это следствие можно пояснить следующим образом (рис.31):

F(х 2) = Р(Х < х 2) –

вероятность того, что СВ принимает значения левее точки х 2 .

F(х 1) = Р(Х < х 1) – вероятность того, что СВ принимает значения левее точки х 1 .

Отсюда разность

Р(Х < х 2) - Р(Х < х 1) есть вероятность того, что значения СВ расположены на участке от х 1 до х 2 (рис.34).

Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины" 2017, 2018.

Мы установили, что ряд распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако эта характеристика не является универсальной. Она существует только для дискретных величин. Для непрерывной величины ряд распределения построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток. Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины, невозможно. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины все-таки существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Р (Х = х ), состоящего в том, что случайная величина примет определенное значение х , а вероятностью события Р (Х <х ), состоящего в том, что случайная величина примет значение меньшее х . Очевидно, что вероятность этого события зависит от х , т.е. является некоторой функцией от х .

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x ), выражающая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х :

Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения .

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Функция распределения допускает простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим случайную величину Х на оси Ох (рис. 4.2), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Пусть на оси выбрана точка, имеющая значение х . Тогда в результате опыта случайная величина Х может оказаться левее или правее точки х . Очевидно, вероятность того, что случайная величина Х окажется левее точки х , будет зависеть от положения точки х , т.е. являться функцией аргумента х .

Для дискретной случайной величины Х , которая может принимать значения х 1 , х 2 , …, х n , функция распределения имеет вид

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

Решение. Будем задавать различные значения х и находить для них F (x ) = = P (X < x ).

1. Если х ≤ 0, то F (x ) = P (Х < х ) = 0.

2. Если 0 < х ≤ 1, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) = 0,08.

3. Если 1 < х ≤ 2, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) + P (Х = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. Если х > 2, то F (x ) = P (Х < х ) = P (Х = 0) + P (Х = 1) + P (Х = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

Запишем функцию распределения.

Изобразим функцию распределения графически (рис. 4.3). Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение (про такую функцию говорят, что она непрерывна слева). Эти точки на графике выделены. ◄

Этот пример позволяет прийти к утверждению, что функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений .

Рассмотрим общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей :

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице , т.е.

Пример 4.3. Функция распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале и имеющих нулевую вероятность.

Однако представления о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся из событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представление об отрезке, имеющем определенную длину, тогда как ни одна точка отрезка отличной от нуля длиной не обладает. Отрезок состоит из таких точек, но его длина не равна сумме их длин.

Из этого свойства вытекает следующее следствие.

Следствие. Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания этой величины в интервал (х 1 , х 2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым :

P (x 1 < X < x 2) = P (x 1 ≤ X < x 2) = P (x 1 < X ≤ x 2) = P (x 1 ≤ X ≤ x 2).

В предыдущем n° мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :

. (5.2.1)

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси Ох (рис. 5.2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки .

Будем увеличивать , т. е. перемещать точку вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка попадет левее , не может уменьшиться; следовательно, функция распределения с возрастанием убывать не может.

Чтобы убедиться в том, что , будем неограниченно перемещать точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т.е. .

Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку вправо, убеждаемся, что , так как событие становится в пределе достоверным.

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

,

где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .

Когда текущая переменная проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины , функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Случайная величина – число появлений события в опыте (характеристическая случайная величина события ). Построить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

Построим функцию распределения величины :

График функции распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева).

Пример 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений события .

Решение. Обозначим – число появлений события в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

Построим функцию распределения случайной величины :

3) при ;

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 5.2.6. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв (рис. 5.2.7).

Такие случайные величины называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис. 5.2.8).

Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до , осуществляющиеся при положениях бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределения непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины – время T безотказной работы прибора, испытываемого в течение времени t. Функция распределения этой случайной величины непрерывна всюду, кроме точки t.

Министерство науки и образования РФ

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра Теплогазоснабжения и вентиляции

по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

Дифференциальные и интегральные функции распределения

Казань 2010 г.

Введение

Глава 2. Числовые параметры законов распределения. Центр распределения. Моменты распределений

Глава 3. Оценка результата измерения

Глава 4. Характеристики нормального распределения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Измерения – один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука, техника и промышленность не могут существовать без них. Каждую секунду в мире производятся многие миллиарды измерительных операций, результаты которых используются для обеспечения надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, обеспечения безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важных целей. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Поэтому следует говорить об измерительных технологиях, понимаемых как последовательность действий, направленных на получение измерительной информации требуемого качества.

Другой фактор, подтверждающий важность измерений, – их значимость. Основой любой формы управления, анализа, прогнозирования, планирования контроля или регулирования является достоверная исходная информация, которая может быть получена только путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Естественно, что только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

Задача, которая ставится перед метрологом, желающим приблизиться к истинному значению измеряемой величины и оценить вероятность определенного отклонения в единичном опыте или в серии измерений, состоит в отыскании закона распределения вероятности получения определенного результата от какого-либо аргумента, связанного с отклонением результата от истинного значения. Наиболее универсальным способом достижения этой цели является отыскание интегральных и дифференциальных функций распределения вероятности.

Глава 1. Вероятностное описание результатов и погрешностей

Если при повторных измерениях одной и той же физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях получаемые результаты, отличаются друг от друга, то это свидетельствует о наличии случайных погрешностей. Случайные погрешности являются результатом одновременного воздействия на измеряемую величину многих случайных возмущений. Предсказать результат наблюдения или исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от x min до x max , где x min , x max – соответственно, нижняя и верхняя границы разброса.

Однако остается неясным, какова вероятность появления того или иного значения погрешности, какое из множества лежащих в этой области значений величины принять за результат измерения и какими показателями охарактеризовать случайную погрешность результата. Для ответа на эти вопросы требуется принципиально иной, чем при анализе систематических погрешностей, подход. Подход этот основывается на рассмотрении результатов наблюдений, результатов измерений и случайных погрешностей как случайных величин. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины x и получена группа наблюдений x 1 , x 2 , x,..., x n . Каждое из значений x i содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от x min до x max и найдем размах ряда L = x max − x min . Разделив размах ряда на k равных интервалов Δl = L / k, подсчитаем количество наблюдений n k , попадающих в каждый интервал. Оптимальное число интервалов определяют по формуле Стерджесса k = 1÷3,3 lg n. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на ось абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а на ось ординат – относительную частоту попаданий n k / n. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой n k / n, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте.

На рис. 1 показана полученная в одном из опытов гистограмма, построенная на основании результатов 100 наблюдений, сгруппированных в таблице 1.

Таблица 1

В данном опыте в первый и последующие интервалы попадает соответственно 0,06; 0,12; 0,18; 0,25; 0,17; 0,14 и 0,08 от общего количества наблюдений; при этом, очевидно, что сумма этих чисел равна единице.

Рис. 1. Гистограмма

Если распределение случайной величины х статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным. Это означает, что построив гистограмму один раз, при последующих сериях наблюдений можно с определенной долей уверенности заранее предсказать распределение результатов наблюдений по интервалам. Приняв общую площадь, ограниченную контуром гистограммы и осью абсцисс, за единицу, S 0 =1, относительную частоту попаданий результатов наблюдений в тот или иной интервал можно определить как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной Δl к общей площади.

При бесконечном увеличении числа наблюдений n→ ∞ и бесконечном уменьшении ширины интервалов Δl →0, ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую f (x) (рис. 2), называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение, описывающее ее, – дифференциальным законом распределения. Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде

Рис. 2. Кривая плотности распределения вероятностей

Закон распределения дает полную информацию о свойствах случайной величины и позволяет ответить на поставленные вопросы о результате измерения и его случайной погрешности. Если известен дифференциальный закон распределения f (x), то вероятность Ρ попадания случайной величины х в интервал от x 1 до x 2 можно записать в следующем виде

Графически эта вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой f (x) в интервале от x 1 до x 2 к общей площади, ограниченной кривой распределения. Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [− ∞; + ∞] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие. Вероятность этого события называется функцией распределения случайной величины и обозначается F(x). Функцию распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения. В терминах интегральной функции распределения имеем

P {x 1 ≤ x ≤ x 2 }= F (x 1)− F (x 2),

т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Рис. 3. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения случайной величины

Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина x i в i -м опыте принимает значение, меньшее х. График интегральной функции распределения показан на рис. 3, а. Она имеет следующие свойства:

− неотрицательная, т.е. F(x) ≥ 0;

− неубывающая, т.е. f (x 2) ≥ F(x 1), если x 2 ≥ x 1 ;

− диапазон ее изменения: от 0 до 1, т.е. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1;

− вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от x 1 до

x 2: P{x 1 < x < x 2 }= F(x 2) − F(x 1).

Запишем функцию распределения через плотность:

Площадь, ограниченная кривой распределения, лежащая левее точки x (х

– текущая переменная) (рис. 4), отнесенная к общей площади, есть не что иное, как интегральная функция распределения F(x) = P{x i < x}.

Рассмотрим результат наблюдения ^определенной или так называемой детерминированной ФВ Q как случайную величину (СВ), принимающую значения Х } в различных наблюдениях.

Наиболее универсальный способ описания СВ заключается в нахождении их интегральных или дифференциальных функций распределения

Интегральной функцией распределения результатов наблюдений является зависимость от величины х вероятности Р того, что результат наблюдений X. окажется меньше jc. Записывается это следующим образом:

Другими словами, интегральной функцией распределения случайной величины X называется вероятность выполнения неравенства X

Интегральная функция F(x ) обладает следующими свойствами.

• 1. F(x) - неубывающая функция.
• 2. F(x) стремится к единице при jc -> +°°.
• 3. F(x) стремится к нулю при х -> -°о.
• 4. F(х) - функция непрерывная, так как результат наблюдений в определенном интервале может принять любое значение.

Однако четвертое свойство обычно на практике не реализуется. Это обусловлено тем, что применяемые СИ имеют конечное разрешение: для стрелочных приборов - это цена деления шкалы (квант ФВ); для цифровых приборов - это цена наименьшего разряда кода. Поэтому реально функция распределения имеет ступенчатый вид (рис. 4.4).

Несмотря на это, часто в метрологической практике интегральную функцию распределения принимают непрерывной, что значительно упрощает анализ.

Для случайной погрешности, как и для случайной величины, также имеется своя интегральная функция распределения:

Интегральная функция F(x), как и вероятность, является безразмерной величиной.

Более удобно и наглядно описывать свойство результатов наблюдений с помощью дифференциальной функции распределения, которая называется плотностью распределения вероятности. Необходимо отметить, что дифференциальные функции результатов наблюдений X и случайной погрешности А совпадают, только начало координат графика для А располагается в нулевой точке:

График дифференциальной функции распределения или кривая распределения чаще всего представляет собой симметричную функцию с максимумом в точке Q для результатов наблюдений (рис. 4.5). Кривая распределения для случайной погрешности также чаще всего представляет собой симметричную функцию, но с максимумом в точке «О» (рис. 4.6).

Для результатов наблюдений

Для случайной погрешности

Таким образом, дифференциальная функция распределения результатов наблюдений или случайной погрешности получается дифференцированием интегральной функции распределения.

Бывают и несимметричные функции распределения, например функция Релея (рис. 4.7), или функции, не имеющие максимума (равномерная или трапециевидная) (рис. 4.8, 4.9).

Интегральная функция связана с дифференциальной функцией следующим образом:

поскольку , то , т.е. площадь

под кривой функции распределения равна единице. Это и есть так называемое условие нормировки.

Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности измеряемой физической величины, так как интегральная функция распределения является безразмерной. Используя понятие функции распределения, можно получить выражение для вероятности того, что результат наблюдений находится в полуоткрытых интервалах [х, х 2 ] или [А„А 2 ]:

Это выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения X или случайной погрешности измерения А в заданный интервал равна разности значений интегральной функции распределения на указанных границах этого интервала.

Если выразить эту вероятность через дифференциальную функцию распределения или плотность распределения вероятности, то получим:

т.е. вероятность попадания результата наблюдений X или случайной погрешности Д в заданный интервал численно равна площади под кривой плотности распределения вероятности, ограниченной границами интервала (рис. 4.10).

Произведениеp x (x)dx называется элементом вероятности. В том случае, когда закон распределения плотности вероятности близок к так называемому нормальному закону, как видно из графика дифференциальной функции распределения, наиболее вероятны малые значения погрешностей. Вероятность появления больших погрешностей значительно меньше. Результаты наблюдений сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой ФВ, и по мере приближения к нему элементы вероятности возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения ФВ абсциссу центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой плотности распределения. Эта характеристика случайной величины называется математическим ожиданием (рис. 4.11):

Теперь можно дать математически строгое определение случайной и систематической погрешности.

Систематическая погрешность 0 (рис. 4.11) - это отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой физической величины:

Случайная погрешность А - это разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов наблюдений:

Отсюда действительное значение измеряемой физической величины равно

Контрольные вопросы

• 1. Что понимается под дискретной и непрерывной случайными величинами?
• 2. Интегральная функция распределения и ее свойства.
• 3. Дифференциальная функция распределения, связь между интегральной и дифференциальной функциями распределения.
• 4. Условие нормировки интегральной функции распределения.
• 5. Что собой графически представляет математическое ожидание случайной величины?
• 6. Как с физической и математической точек зрения понимать систематическую и случайную составляющие суммарной погрешности?
• 7. Что понимается под элементом вероятности?
• 8. Как определить вероятность попадания результата наблюдений X или случайной погрешности Д в заданный интервал численно, имея график плотности распределения вероятности, ограниченной границами интервала?